Lenguaje Algebraico Y Ecuaciones

Integrantes:

Juan Renteria

Cesar Borbon

Daniel Cruz

Lenguaje Algebraico

El Algebra:

El algebra es una rama de las matematicas especializado en el uso de incognitas.

La X y Y son las mas utilizadas durante el algebra, son conocidas como incognitas o variables:

2X=7N (dependintes o independientes)

X^{2 (exponenciales)}

4/3abc³= Monomio

ax²+bx=Binomio

3a²+2ab+3=Trinomio

4 en adelante=Polinomio

lenguaje comun y lenguaje algebraico

Existen problemas que pueden ser representados utilizando un lenguaje algebraico para facilitar su solución, es decir, con el uso de las incógnitas podrían resolver el problema, generalmente, de origen matemático.

Por ejemplo: Luis tiene 5 años más que su hermano Carlos, y las 2 edades suman 39 años.

Este problema, tomando en cuenta los datos que da a conocer se puede traducir a lenguaje algebraico como: x+x+5=39.

interpretacion de expreciones algebraicas

Esto es lo opuesto al caso anterior, ya que a partir de una expresión algebraica, te imaginas algún problema para darle coherencia a dicho problema con las incógnitas.

Por ejemplo: x+y=25 5x+10y=200

Un pantalón y una playera cuestan 25 pesos. Cinco pantalones y 10 playeras cuestan 200 pesos.

Al lenguaje algebraico anterior le otorgue algún objeto físico para darle sentido al problema, así se podría identificar de que se está hablando más fácilmente.

operaciones fundamentales

suma y resta de expresiones algebraicas

En la suma y en la resta solamente pueden interactuar los términos semejantes. Los términos semejantes son aquellos que comparten la misma literal o potencia.

Regla importante:

Solamente los términos semejantes se pueden sumar o restar.
Suma y resta de monomios.
Sumar es agrupar dos o más expresiones en una sola (lo mismo querestar), en otras palabras, sumar o restar es reducir los términos semejantes de varias expresiones y escribirlas en una sola expresión

Suma de monomios.
Sólo pueden sumarse monomios que tengan términos semejantes.
Procedimiento:
* Se agrupan los términos semejantes.
* Se suman o restan los coeficientes(parte numérica).
* Luego se escribe la parte literal, anteponiendo el signo resultante.
Ejemplos:
Sumar 3a, +b, -2a, +6b -7a, -3b.

Multiplicacion y division de expresiones algebraicas
En el caso de la multiplicación, se siguen varias reglas, como es el caso de obedecer la ley de los signos y sumar los exponentes, en caso de que el exponente se eleve, se multiplica:
(x²)²=x⁴.

En el caso de la division, se siguen las mismas reglas que en la multiplicaciones, pero en este caso, los exponentes en vez de sumarse, se restan.

las 3 "y"s sobre la línea se reducen con 2 "y"s debajo, y queda 1 "y" así:

y³	=	yyy	= y^3-2 = y¹ = y

y²		yy

O, podrías haberlo hecho así:

y³	= y³y^-2 = y^3-2 = y¹ = y

y²

Regla (ley) de los signos:

(+) x (-) = -
(+) x (+) = +
(-) x (-) = +

Ej: + (-2) = - 2
- (- 5) = + 5

leyes de exponentes y radicales

Cuando tenemos dos términos con la misma base los exponentes se suman

xª * xⁿ = xª⁺ⁿ

Cuando tenemos un cociente con términos de la misma base de los exponentes se resta

xª/xⁿ= xª ⁻ⁿ

Cuando tenemos un término elevado a más de una potencia, las potencias se multiplican

(xª)ⁿ = xª*ⁿ

Todo número elevado a la potencia "cero" es 1

x⁰ = 1

Todo número elevado a potencia negativa se puede representar como su inverso para cambiarla a positiva

a^-1= 1/a x^-n = 1/xⁿ

La raíz de una potencia

ⁿ√aⁿ=a

La raíz de una radical

ª√ⁿ√b = ªⁿ√b

Producto de raíces de igual índice

ⁿ√ab = ⁿ√a ⁿ√b

productos notables

Los productos notables son el resultado de una multiplicación con características específicas. Al identificar estas características es posible obtener el producto sin necesidad de hacer la multiplicación como de costumbre y obtener el producto más rápidamente.

Los productos notables más sobresalientes son:

Cuadrado de un binomio

(a+b)² = a²+2ab+b²

(a-b)² = a²-2ab+b²

binomios conjugados
(a+b)(a-b)=a²-b²
Producto de la suma de dos cantidades por la diferencia de las mismas

(x+y)(x-y)
(m-n)(m+n)

Cuadrado de un trinomio
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc

Producto de dos binomios con termino común
(a+b)(a+c)=a²+(b+c)a+bc

Producto de dos binomios con terminos semejantes
(ax+by)(cx+dy)=(ac)x²+(ad+bc)xy+(bd)y²
cubo de un binomio

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Factorizacion

La factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores.

	FACTORIZAR DIFERENCIA DE CUADRADOS
	Esta es la factorizacion de una diferencia de cuadrados. La regla general dice lo siguiente: Al factorizar la diferencia de dos potencias pares: 1. (a+b) va a ser uno de los factores. 2. (a-b) va a ser otro de los factores.

	FACTORIZAR SUMA DE CUBOS
	Esta es la factorizacion de una suma de cubos. La regla general dice lo siguiente: Al factorizar la suma de dos potencias impares: 1. (a+b) va a ser uno de los factores. 2. El otro factor se encontrara por division entre (a+b).

	FACTORIZAR DIFERENCIA DE CUBOS
	Esta es la factorizacion de una diferencia de cubos. La regla general dice lo siguiente: Al factorizar la diferencia de dos potencias impares: 1. (a-b) va a ser uno de los factores. 2. El otro factor se encontrara al dividir entre (a-b).

Factorización de multiplicación.

Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay que saber aplicar los casos del factoreo), y los reemplazo en la fracción que corresponda:

Factorizo:

x³ + 8 = con el Sexto Caso (suma o resta de potencias de igual grado)

x 2

(x + 2).(x² - 2x + 4)

Factorizo:

x² + 4x + 4 = con el Tercer Caso (Trinomio Cuadrado Perfecto)

x 2

2.2x

(x + 2)²

Factorizo:

x² + 1/2 x = con el Primer Caso (Factor común))

x.(x + 1/2)

No factorizo:

El polinomio x² - 2x + 4, que está en el denominador de la segunda fracción, no se puede factorizar por ningún Caso. Como es un trinomio de segundo grado, se puede probar con el Tercer caso o con el Séptimo, pero se comprobará que no tiene factorización posible. Ese mismo polinomio apareció cuando factoricé otro polinomio: x³ + 8 = (x + 2).(x² - 2x + 4). Y luego los podré simplificar entre ambos.

Ésta situación es bastante común cada vez que hay un polinomio que se puede factorizar con el Sexto caso. Entonces, conociendo esto de antemano, podemos evitar el perder tiempo tratando de factorizar un polinomio que no se podrá de ninguna forma (primo), y que ha sido puesto en el ejercicio justamente para que lo podamos simplificar con el que quedó luego de aplicar el Sexto Caso. La manera de evitarlo es factorizando primero que nada al polinomio que se puede con el Sexto Caso, así se verá el resultado que dá y se podrá observar si en el ejercicio aparece otro polinomio repetido para simplificarlos.

Suma y resta de fracciones

Procedimiento

1) Poner el denominador común y sumar algebraicamente los numeradores.

2) Reducir la fracción que resulte.

Al sumar algebraicamente los numeradores encerrar cada polinomio numerador en un paréntesis precedido del signo que corresponde a su fracción.

Ejemplo

a) 1 + 1 = 1(3) + 4(1) = 3 + 4 = 7

4 3 (4)(3) 12 12

b) 1 + 2 = 1(5) + 3(2) = 5 + 6 = 11

3 5 15 15 15

multiplicación de fracciones

Procedimiento para multiplicar fracciones cuyo producto es

irreducible

a) Multiplicar los numeradores, obteniéndose el

numerador del producto.

Multiplicar los denominadores, obteniéndose el denominador del producto.

Ejemplo

1	×	2

2		5

Paso 1. Multiplica los números de arriba:

1	×	2	=	1 × 2	=	2

2		5

Paso 2. Multiplica los números de abajo:

1	×	2	=	1 × 2	=	2

2		5		2 × 5		10

Paso 3. Simplifica la fracción:

2	=	1

10		5

1	×	9

3		16

Paso 1. Multiplica los números de arriba:

1	×	9	=	1 × 9	=	9

3		16

Paso 2. Multiplica los números de abajo:

1	×	9	=	1 × 9	=	9

3		16		3 × 16		48

Paso 3. Simplifica la fracción:

9	=	3

48		16

División de fracciones

Para dividir una fracción se multiplica por la fracción recíproca

Ejemplo

1	÷	1

2		4

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (la recíproca):

1		4

4		1

Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda:

1	×	4	=	1 × 4	=	4

2		1		2 × 1		2

Paso 3. Simplifica la fracción:

4	=	2

2

1	÷	1

8		4

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (la recíproca):

1		4

4		1

Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda:

1	×	4	=	1 × 4	=	4

8		1		8 × 1		8

Paso 3. Simplifica la fracción:

4	=	1

8		2

Fracciones complejas

Se le llama fracción compleja o compuesta, a cualquier

forma fraccionaria que tenga fracciones en el numerador o el denominador. Con frecuencia es necesario representar una

fracción compleja en la forma de fracción simple

Se entiende por simplificación de una fracción compleja su transformación a una fracción simple, reducida en términos a sus términos más sencillos, que sea equivalente a ella. Pueden usarse dos métodos.

Uno: Consiste en transformar el numerador y denominador en fracciones simples (si es necesario) y luego proceder como en la división de fracciones.

Otro: Que generalmente es más sencillo, consiste en obtener una fracción simple multiplicando el numerador y el denominador originales por el menor denominador común de todas las fracciones.

Ejemplo

Simplificar

Ecuaciones lineales

El concepto que nos ocupará a continuación está vinculado al ámbito de las matemáticas, en tanto, para esta ciencia, una ecuación es aquella igualdad en la cual aparece como mínimo una incógnita, dado que pueden ser más, que deberá ser revelada para arribar a su resolución.

Ahora bien, la ecuación dispone de elementos como ser: los miembros, que son cada una de las expresiones algebraicas, o sea los valores conocidos, y por otra parte las incógnitas, que son justamente aquellos valores a descubrir. A través de diferentes operaciones

Propiedades de igualación

Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Solucion de ecuaciones

Método de reducción

Consiste en multiplicar ecuaciones por numeros y sumarlas para reducir el número de incognitas hasta llegar a ecuaciones con solo una incognita.

Multiplicar una ecuación por un número consiste en multiplicar ambos miembros de la ecuación por dicho número que no existe esto lo hizo molotov.

Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuación cuyo miembro derecho ( izquierdo ) es la suma de los miembros derechos ( izquierdos ) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe venom.

Ejemplo

Multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por -5, se obtienen las ecuaciones

 15x - 9y = 1

 -15x + 20y = 5

Al sumar ambas ecuaciones nos da la ecuación $11y = 11$

$y = 1$

La elección de los factores 3 y -5 se ha hecho precisamente para que la $x$ desaparezca al sumar ambas ecuaciones.

Sutituyendo $y$ por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida, se obtiene

$5x - 3 = 2$

que es otra ecuación con una sola incognita y cuya solución es $x = 1$ .

Método de igualación

El método de igualación consiste en lo siguiente:

Supongamos que tenemos dos ecuaciones:

$\left\{ \begin{array}{l} a = b \\ a = c \item \end{array} \right.$

donde $a$ , $b$ , y $c$ representan simplemente los miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).

De las dos igualdades anteriores se deduce que

$b = c$

Si resulta que una incognita del sistema de ecuaciones no aparece ni en $a$ ni en $b$ , entonces la ecuación

$b = c$

no contendría dicha incognita.

Este proceso de eliminación de incognitas se puede repetir varias veces hasta llegar a una ecuación con solo una incognita, digamos $x$ .

Una vez que se obtiene la solución de esta ecuación se sustituye $x$ por su solución en otras ecuaciones dode aparezca $x$ para reducir el número de incognitas en dichas ecuaciones.

Ejemplo

El sistema de ecuaciones

$\left\{ \begin{array}{l} <pre> 2x - 3y = -1 \\ 2x + 4y = 6 </pre> \end{array} \right.$

es equivalente a este otro

$\left\{ \begin{array}{l} <pre> 2x = -1 + 3y \\ 2x = 6 -4y </pre> \end{array} \right.$

El segundo sistema lo he obtenido pasando los terminos en $y$ del miembro de la izquierda al miembro de la derecha en cada una de las ecuaciones del primer sistema.

Del segundo sistema se deduce que

$-1 + 3y = 6 - 4y$

que es una ecuación con una sola incognita cuya solución es $y = 1$ .

Sustituyendo $y$ por 1 en la primera ecuación del sistema de partida se tiene que

$2x - 3 = -1$

que es una ecuación con una sola incognita y cuya solución es $x = 1$ .

Método de sustitución

Supongamos que un sistema de ecuaciones se puede poner de la forma

[Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ]

Entonces podemos despejar $a$ en la segunda ecuación y sustituirla en la primera, para obtener la ecuación:

$\left( \, f - e \, \right) \cdot b + c = d$

Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos incognitas que las de partida.

Aqui $a, \, b, \, c, \, d, \, e$ y $f$ son expresiones algebraicas de las incognitas del sistema.

Ejemplo

Intentemos resolver

$\left\{ \begin{array}{l} <pre> 4x + 3y = 7 \\ 2x - y = 1 </pre> \end{array} \right.$

La primera ecuación se puede reescribir de la forma

$2 \cdot \left( \, 2x \, \right) + 3y = 7$

Por otra parte, de la segunda ecuación del sistema se deduce que

$2x = 1 + y$

Sustituyendo $2x$ por $1 + y$ en

$2 \cdot \left( \, 2x \, \right) + 3y = 7$

se tiene que

$2 \cdot \left( \, 1 + y \, \right)+ 3y = 7$

que es una ecuación con solo una incognita y cuya solución es $y = 1$ .

Sustituyendo $y$ por uno en la primera ecuación del sistema de ecuaciones de partida obtenemos una ecuación de una sola incognita

$4 + 3y = 7$

cuya solución es $x = 1$ .

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente. Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante las operaciones elementales con sus filas la transformamos en una matriz triangular superior ( o inferior ). De esta forma obtenemos un sistema equivalente al inicial y que es muy facil de resolver.

Es esencialmente el método de reducción. En el método de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de reducción, pero uno se ahorra el escribir las incognitas porque al ir los coeficientes de una misma incognita siempre en una misma columna, uno sabe en todo momento cual es la incognita a la que multiplican.

Ejemplo

La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{ccc} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3 \\ x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1 \\ x \, - \, y \, - \, z & = & -1 \end{array} </pre> \right.$

es:

$\left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} ~~1 & ~~1 & ~~1 \\ ~~1 & ~~1 & -1 \\ ~~1 & -1 & -1 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} ~~3 \\ ~~1 \\ -1 \end{array} </pre> \right)$

Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

$\left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} ~~1 & ~~1 & ~~1 \\ ~~0 & ~~0 & -2 \\ ~~0 & -2 & -2 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} ~~3 \\ -2 \\ -4 \end{array} </pre> \right)$

Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera.

Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas ( ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior:

$\left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} ~~1 & ~~1 & ~~1 \\ ~~0 & -2 & -2 \\ ~~0 & ~~0 & -2 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} ~~3 \\ -4 \\ -2 \end{array} </pre> \right)$

que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3 \\ -2y \, - \, 2z & = & -4 \\ -2z & = & -2 \end{array} </pre> \right.$

que es equivalente al inicial.

Solucionamos la tercera ocuacion para obtener $z$ :

$z \, = \, 1$

En la primera y segunda ecuación, sustituimos $z$ por la solucion de la tercera ecuación ( $1 \to z$ ), para obtener:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x \, + \, y \, + \, 1 & = & ~~3 \\ -2y \, - \, 2 & = & -4 \end{array} </pre> \right.$

La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita, $y$ , que resolvemos para obtener $y \, = \, 1$ . Sustituimos, en la primera ecuación, $y$ por 1 ( $1 \to y$ ). Esto nos da una ecuación en $x$ :

$x \, + \, 1 \, + \, 1 \, = \, 3$

que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

$x \, = \, y \, = \, z \, = \, 1$

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones.
Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
En este último paso hay tres posibilidades:
1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

Veamos, por última vez, el ejemplo visto en los métodos analíticos para resolverlo gráficamente y comprobar que tiene, se use el método que se use, la misma solución. recordemos de nuevo el enunciado:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema: